1 решение квадратного уравнения общего вида. Как решать квадратные уравнения

Продолжаем изучение темы «решение уравнений ». Мы уже познакомились с линейными уравнениями и переходим к знакомству с квадратными уравнениями .

Сначала мы разберем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим связанные определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения. Дальше перейдем к решению полных уравнений, получим формулу корней, познакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассмотрим решения характерных примеров. Наконец, проследим связи между корнями и коэффициентами.

Навигация по странице.

Что такое квадратное уравнение? Их виды

Для начала надо отчетливо понимать, что такое квадратное уравнение. Поэтому разговор о квадратных уравнениях логично начать с определения квадратного уравнения, а также связанных с ним определений. После этого можно рассмотреть основные виды квадратных уравнений: приведенные и неприведенные, а также полные и неполные уравнения.

Определение и примеры квадратных уравнений

Определение.

Квадратное уравнение – это уравнение вида a·x 2 +b·x+c=0 , где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.

Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени. Это связано с тем, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. Так 2·x 2 +6·x+1=0 , 0,2·x 2 +2,5·x+0,03=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Определение.

Числа a , b и c называют коэффициентами квадратного уравнения a·x 2 +b·x+c=0 , причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x 2 , b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x , а c – свободным членом.

Для примера возьмем квадратное уравнение вида 5·x 2 −2·x−3=0 , здесь старший коэффициент есть 5 , второй коэффициент равен −2 , а свободный член равен −3 . Обратите внимание, когда коэффициенты b и/или c отрицательные, как в только что приведенном примере, то используется краткая форма записи квадратного уравнения вида 5·x 2 −2·x−3=0 , а не 5·x 2 +(−2)·x+(−3)=0 .

Стоит отметить, что когда коэффициенты a и/или b равны 1 или −1 , то они в записи квадратного уравнения обычно не присутствуют явно, что связано с особенностями записи таких . Например, в квадратном уравнении y 2 −y+3=0 старший коэффициент есть единица, а коэффициент при y равен −1 .

Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1 , называют приведенным квадратным уравнением . В противном случае квадратное уравнение является неприведенным .

Согласно данному определению, квадратные уравнения x 2 −3·x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 и т.п. – приведенные, в каждом из них первый коэффициент равен единице. А 5·x 2 −x−1=0 , и т.п. - неприведенные квадратные уравнения, их старшие коэффициенты отличны от 1 .

От любого неприведенного квадратного уравнения с помощью деления его обеих частей на старший коэффициент можно перейти к приведенному. Это действие является равносильным преобразованием , то есть, полученное таким способом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, так же как оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как выполняется переход от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

Пример.

От уравнения 3·x 2 +12·x−7=0 перейдите к соответствующему приведенному квадратному уравнению.

Решение.

Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3 , он отличен от нуля, поэтому мы можем выполнить это действие. Имеем (3·x 2 +12·x−7):3=0:3 , что то же самое, (3·x 2):3+(12·x):3−7:3=0 , и дальше (3:3)·x 2 +(12:3)·x−7:3=0 , откуда . Так мы получили приведенное квадратное уравнение, равносильное исходному.

Ответ:

Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения присутствует условие a≠0 . Это условие нужно для того, чтобы уравнение a·x 2 +b·x+c=0 было именно квадратным, так как при a=0 оно фактически становится линейным уравнением вида b·x+c=0 .

Что касается коэффициентов b и c , то они могут быть равны нулю, причем как по отдельности, так и вместе. В этих случаях квадратное уравнение называют неполным.

Определение.

Квадратное уравнение a·x 2 +b·x+c=0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов b , c равен нулю.

В свою очередь

Определение.

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Такие названия даны не случайно. Из следующих рассуждений это станет понятно.

Если коэффициент b равен нулю, то квадратное уравнение принимает вид a·x 2 +0·x+c=0 , и оно равносильно уравнению a·x 2 +c=0 . Если c=0 , то есть, квадратное уравнение имеет вид a·x 2 +b·x+0=0 , то его можно переписать как a·x 2 +b·x=0 . А при b=0 и c=0 мы получим квадратное уравнение a·x 2 =0 . Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название – неполные квадратные уравнения.

Так уравнения x 2 +x+1=0 и −2·x 2 −5·x+0,2=0 – это примеры полных квадратных уравнений, а x 2 =0 , −2·x 2 =0 , 5·x 2 +3=0 , −x 2 −5·x=0 – это неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Из информации предыдущего пункта следует, что существует три вида неполных квадратных уравнений :

• a·x 2 =0 , ему отвечают коэффициенты b=0 и c=0 ;
• a·x 2 +c=0 , когда b=0 ;
• и a·x 2 +b·x=0 , когда c=0 .

Разберем по порядку, как решаются неполные квадратные уравнения каждого из этих видов.

a·x 2 =0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида a·x 2 =0 . Уравнению a·x 2 =0 равносильно уравнение x 2 =0 , которое получается из исходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a . Очевидно, корнем уравнения x 2 =0 является нуль, так как 0 2 =0 . Других корней это уравнение не имеет, что объясняется , действительно, для любого отличного от нуля числа p имеет место неравенство p 2 >0 , откуда следует, что при p≠0 равенство p 2 =0 никогда не достигается.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x 2 =0 имеет единственный корень x=0 .

В качестве примера приведем решение неполного квадратного уравнения −4·x 2 =0 . Ему равносильно уравнение x 2 =0 , его единственным корнем является x=0 , следовательно, и исходное уравнение имеет единственный корень нуль.

Краткое решение в этом случае можно оформить следующим образом:
−4·x 2 =0 ,
x 2 =0 ,
x=0 .

a·x 2 +c=0

Теперь рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b равен нулю, а c≠0 , то есть, уравнения вида a·x 2 +c=0 . Мы знаем, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение. Поэтому можно провести следующие равносильные преобразования неполного квадратного уравнения a·x 2 +c=0 :

• перенести c в правую часть, что дает уравнение a·x 2 =−c ,
• и разделить обе его части на a , получаем .

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях. В зависимости от значений a и c значение выражения может быть отрицательным (например, если a=1 и c=2 , то ) или положительным, (к примеру, если a=−2 и c=6 , то ), оно не равно нулю, так как по условию c≠0 . Отдельно разберем случаи и .

Если , то уравнение не имеет корней. Это утверждение следует из того, что квадрат любого числа есть число неотрицательное. Из этого вытекает, что когда , то ни для какого числа p равенство не может быть верным.

Если , то дело с корнями уравнения обстоит иначе. В этом случае, если вспомнить о , то сразу становится очевиден корень уравнения , им является число , так как . Несложно догадаться, что и число тоже является корнем уравнения , действительно, . Других корней это уравнение не имеет, что можно показать, например, методом от противного. Сделаем это.

Обозначим только что озвученные корни уравнения как x 1 и −x 1 . Предположим, что уравнение имеет еще один корень x 2 , отличный от указанных корней x 1 и −x 1 . Известно, что подстановка в уравнение вместо x его корней обращает уравнение в верное числовое равенство . Для x 1 и −x 1 имеем , а для x 2 имеем . Свойства числовых равенств нам позволяют выполнять почленное вычитание верных числовых равенств, так вычитание соответствующих частей равенств и дает x 1 2 −x 2 2 =0 . Свойства действий с числами позволяют переписать полученное равенство как (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 . Мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Следовательно, из полученного равенства следует, что x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0 , что то же самое, x 2 =x 1 и/или x 2 =−x 1 . Так мы пришли к противоречию, так как вначале мы сказали, что корень уравнения x 2 отличен от x 1 и −x 1 . Этим доказано, что уравнение не имеет других корней, кроме и .

Обобщим информацию этого пункта. Неполное квадратное уравнение a·x 2 +c=0 равносильно уравнению , которое

• не имеет корней, если ,
• имеет два корня и , если .

Рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений вида a·x 2 +c=0 .

Начнем с квадратного уравнения 9·x 2 +7=0 . После переноса свободного члена в правую часть уравнения, оно примет вид 9·x 2 =−7 . Разделив обе части полученного уравнения на 9 , придем к . Так как в правой части получилось отрицательное число, то это уравнение не имеет корней, следовательно, и исходное неполное квадратное уравнение 9·x 2 +7=0 не имеет корней.

Решим еще одно неполное квадратное уравнение −x 2 +9=0 . Переносим девятку в правую часть: −x 2 =−9 . Теперь делим обе части на −1 , получаем x 2 =9 . В правой части находится положительное число, откуда заключаем, что или . После записываем окончательный ответ: неполное квадратное уравнение −x 2 +9=0 имеет два корня x=3 или x=−3 .

a·x 2 +b·x=0

Осталось разобраться с решением последнего вида неполных квадратных уравнений при c=0 . Неполные квадратные уравнения вида a·x 2 +b·x=0 позволяет решить метод разложения на множители . Очевидно, мы можем , находящийся в левой части уравнения, для чего достаточно вынести за скобки общий множитель x . Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к равносильному уравнению вида x·(a·x+b)=0 . А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0 и a·x+b=0 , последнее из которых является линейным и имеет корень x=−b/a .

Итак, неполное квадратное уравнение a·x 2 +b·x=0 имеет два корня x=0 и x=−b/a .

Для закрепления материала разберем решение конкретного примера.

Пример.

Решите уравнение .

Решение.

Выносим x за скобки, это дает уравнение . Оно равносильно двум уравнениям x=0 и . Решаем полученное линейное уравнение: , и выполнив деление смешанного числа на обыкновенную дробь, находим . Следовательно, корнями исходного уравнения являются x=0 и .

После получения необходимой практики, решения подобных уравнений можно записывать кратко:

Ответ:

x=0 , .

Дискриминант, формула корней квадратного уравнения

Для решения квадратных уравнений существуют формула корней. Запишем формулу корней квадратного уравнения : , где D=b 2 −4·a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения . Запись по сути означает, что .

Полезно знать, как была получена формула корней, и как она применяется при нахождении корней квадратных уравнений. Разберемся с этим.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Пусть нам нужно решить квадратное уравнение a·x 2 +b·x+c=0 . Выполним некоторые равносильные преобразования :

• Обе части этого уравнения мы можем разделить на отличное от нуля число a , в результате получим приведенное квадратное уравнение .
• Теперь выделим полный квадрат в его левой части: . После этого уравнение примет вид .
• На этом этапе можно осуществить перенос двух последних слагаемых в правую часть с противоположным знаком, имеем .
• И еще преобразуем выражение, оказавшееся в правой части: .

В итоге мы приходим к уравнению , которое равносильно исходному квадратному уравнению a·x 2 +b·x+c=0 .

Аналогичные по форме уравнения мы уже решали в предыдущих пунктах, когда разбирали . Это позволяет сделать следующие выводы, касающиеся корней уравнения :

• если , то уравнение не имеет действительных решений;
• если , то уравнение имеет вид , следовательно, , откуда виден его единственный корень ;
• если , то или , что то же самое или , то есть, уравнение имеет два корня.

Таким образом, наличие или отсутствие корней уравнения , а значит и исходного квадратного уравнения, зависит от знака выражения , стоящего в правой части. В свою очередь знак этого выражения определяется знаком числителя, так как знаменатель 4·a 2 всегда положителен, то есть, знаком выражения b 2 −4·a·c . Это выражение b 2 −4·a·c , назвали дискриминантом квадратного уравнения и обозначили буквой D . Отсюда понятна суть дискриминанта – по его значению и знаку делают вывод, имеет ли квадратное уравнение действительные корни, и если имеет, то каково их количество - один или два.

Возвращаемся к уравнению , перепишем его с использованием обозначения дискриминанта: . И делаем выводы:

• если D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• если D=0 , то это уравнение имеет единственный корень ;
• наконец, если D>0 , то уравнение имеет два корня или , которые в силу можно переписать в виде или , а после раскрытия и приведения дробей к общему знаменателю получаем .

Так мы вывели формулы корней квадратного уравнения, они имеют вид , где дискриминант D вычисляется по формуле D=b 2 −4·a·c .

С их помощью при положительном дискриминанте можно вычислить оба действительных корня квадратного уравнения. При равном нулю дискриминанте обе формулы дают одно и то же значение корня, соответствующее единственному решению квадратного уравнения. А при отрицательном дискриминанте при попытке воспользоваться формулой корней квадратного уравнения мы сталкиваемся с извлечением квадратного корня из отрицательного числа, что выводит нас за рамки и школьной программы. При отрицательном дискриминанте квадратное уравнение не имеет действительных корней, но имеет пару комплексно сопряженных корней, которые можно найти по тем же полученным нами формулам корней .

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

На практике при решении квадратных уравнения можно сразу использовать формулу корней, с помощью которой вычислить их значения. Но это больше относиться к нахождению комплексных корней.

Однако в школьном курсе алгебры обычно речь идет не о комплексных, а о действительных корнях квадратного уравнения. В этом случае целесообразно перед использованием формул корней квадратного уравнения предварительно найти дискриминант, убедиться, что он неотрицательный (в противном случае можно делать вывод, что уравнение не имеет действительных корней), и уже после этого вычислять значения корней.

Приведенные рассуждения позволяют записать алгоритм решения квадратного уравнения . Чтобы решить квадратное уравнение a·x 2 +b·x+c=0 , надо:

• по формуле дискриминанта D=b 2 −4·a·c вычислить его значение;
• заключить, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
• вычислить единственный корень уравнения по формуле , если D=0 ;
• найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней , если дискриминант положительный.

Здесь лишь заметим, что при равном нулю дискриминанте можно использовать и формулу , она даст то же значение, что и .

Можно переходить к примерам применения алгоритма решения квадратных уравнений.

Примеры решения квадратных уравнений

Рассмотрим решения трех квадратных уравнений с положительным, отрицательным и равным нулю дискриминантом. Разобравшись с их решением, по аналогии можно будет решить любое другое квадратное уравнение. Начнем.

Пример.

Найдите корни уравнения x 2 +2·x−6=0 .

Решение.

В этом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=1 , b=2 и c=−6 . Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант, для этого подставляем указанные a , b и c в формулу дискриминанта, имеем D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28 . Так как 28>0 , то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней , получаем , здесь можно упростить полученные выражения, выполнив вынесение множителя за знак корня с последующим сокращением дроби:

Ответ:

Переходим к следующему характерному примеру.

Пример.

Решите квадратное уравнение −4·x 2 +28·x−49=0 .

Решение.

Начинаем с нахождения дискриминанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0 . Следовательно, это квадратное уравнение имеет единственный корень, который находим как , то есть,

Ответ:

x=3,5 .

Остается рассмотреть решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример.

Решите уравнение 5·y 2 +6·y+2=0 .

Решение.

Здесь такие коэффициенты квадратного уравнения: a=5 , b=6 и c=2 . Подставляем эти значения в формулу дискриминанта, имеем D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4 . Дискриминант отрицательный, следовательно, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если же потребуется указать комплексные корни, то применяем известную формулу корней квадратного уравнения , и выполняем действия с комплексными числами :

Ответ:

действительных корней нет, комплексные корни таковы: .

Еще раз отметим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то в школе обычно сразу записывают ответ, в котором указывают, что действительных корней нет, и не находят комплексные корни.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула корней квадратного уравнения , где D=b 2 −4·a·c позволяет получить формулу более компактного вида, позволяющую решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x (или просто с коэффициентом, имеющим вид 2·n , например, , или 14·ln5=2·7·ln5 ). Выведем ее.

Допустим нам нужно решить квадратное уравнение вида a·x 2 +2·n·x+c=0 . Найдем его корни с использованием известной нам формулы. Для этого вычисляем дискриминант D=(2·n) 2 −4·a·c=4·n 2 −4·a·c=4·(n 2 −a·c) , и дальше используем формулу корней:

Обозначим выражение n 2 −a·c как D 1 (иногда его обозначают D" ). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид , где D 1 =n 2 −a·c .

Несложно заметить, что D=4·D 1 , или D 1 =D/4 . Другими словами, D 1 – это четвертая часть дискриминанта. Понятно, что знак D 1 такой же, как знак D . То есть, знак D 1 также является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Итак, чтобы решить квадратное уравнение со вторым коэффициентом 2·n , надо

• Вычислить D 1 =n 2 −a·c ;
• Если D 1 <0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Если D 1 =0 , то вычислить единственный корень уравнения по формуле ;
• Если же D 1 >0 , то найти два действительных корня по формуле .

Рассмотрим решение примера с использованием полученной в этом пункте формулы корней.

Пример.

Решите квадратное уравнение 5·x 2 −6·x−32=0 .

Решение.

Второй коэффициент этого уравнения можно представить в виде 2·(−3) . То есть, можно переписать исходное квадратное уравнение в виде 5·x 2 +2·(−3)·x−32=0 , здесь a=5 , n=−3 и c=−32 , и вычислить четвертую часть дискриминанта: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169 . Так как его значение положительно, то уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя соответствующую формулу корней:

Заметим, что можно было использовать обычную формулу корней квадратного уравнения, но в этом случае пришлось бы выполнить больший объем вычислительной работы.

Ответ:

Упрощение вида квадратных уравнений

Порой, прежде чем пускаться в вычисление корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задаться вопросом: «А нельзя ли упростить вид этого уравнения»? Согласитесь, что в плане вычислений проще будет решить квадратное уравнение 11·x 2 −4·x−6=0 , чем 1100·x 2 −400·x−600=0 .

Обычно упрощение вида квадратного уравнения достигается путем умножения или деления его обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце удалось достичь упрощения уравнения 1100·x 2 −400·x−600=0 , разделив обе его части на 100 .

Подобное преобразование проводят с квадратными уравнениями, коэффициенты которого не являются . При этом обычно делят обе части уравнения на абсолютных величин его коэффициентов. Для примера возьмем квадратное уравнение 12·x 2 −42·x+48=0 . абсолютных величин его коэффициентов: НОД(12, 42, 48)= НОД(НОД(12, 42), 48)= НОД(6, 48)=6 . Разделив обе части исходного квадратного уравнения на 6 , мы придем к равносильному ему квадратному уравнению 2·x 2 −7·x+8=0 .

А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно производится для избавления от дробных коэффициентов. При этом умножение проводят на знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК(6, 3, 1)=6 , то оно примет более простой вид x 2 +4·x−18=0 .

В заключение этого пункта заметим, что почти всегда избавляются от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки всех членов, что соответствует умножению (или делению) обеих частей на −1 . Например, обычно от квадратного уравнения −2·x 2 −3·x+7=0 переходят к решению 2·x 2 +3·x−7=0 .

Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты. Отталкиваясь от формулы корней, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Наиболее известны и применимы формулы из теоремы Виета вида и . В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену. Например, по виду квадратного уравнения 3·x 2 −7·x+22=0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3 , а произведение корней равно 22/3 .

Используя уже записанные формулы можно получить и ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. К примеру, можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Квадратные уравнения. Общая информация.

В квадратном уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате (поэтому оно и называется

«квадратным»). Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и

просто число (свободный член ). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Алгебраическое уравнение общего вида.

где x — свободная переменная, a , b , c — коэффициенты, причём a ≠0 .

Например :

Выражение называют квадратным трёхчленом .

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия:

· называют первым или старшим коэффициентом,

· называют вторым или коэффициентом при ,

· называют свободным членом.

Полное квадратное уравнение.

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с

коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с. В се коэффициенты

должны быть отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме

старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Предположим, что b = 0, - пропадёт икс в первой степени. Получается, например:

2х 2 -6х=0,

И т.п. А если оба коэффициента, b и c равны нулю, то всё ещё проще, например:

2х 2 =0,

Обратите внимание, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Почему а не может быть равно нулю? Тогда исчезнет икс в квадрате и уравнение станет линейным .

И решается уже совсем иначе...

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0

а=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0

а=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + с = b , то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0

Выполняется равенство a + с = b , значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

х 1 = –6 х 2 = –1/6.

2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны

аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15х+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

Цели:

• Ввести понятие приведенного квадратного уравнения;
• “открыть” зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения;
• развивать интерес к математике, показав на примере жизни Виета, что математика может быть увлечением.

1. Проверка домашнего задания

№ 309(г) х 1 =7, х 2 =

№ 311(г) х 1 =2, х 2 =-1

№ 312 (г) корней нет

У каждого на столенаходится таблица. Найдите соответствие между левым и правым столбиками таблицы.

Правильные ответы занесите в таблицу.

1-З; 2-Е; 3-А; 4-К; 5-Б; 6-И; 7-Д; 8-В; 9-Г; 10-Л; 11-Ж.

Решите уравнения:

а) -5х 2 + 8х -3=0;

Решение :

Д=64 – 4(-5)(-3) = 4,

х 1 = х 2 = = а + в + с =-5+8-3=0

б) 2 х 2 +6х – 8 = 0;

Решение :

Д=36 – 4 2 (-8)= 100,

х 1 = = х 2 = а + в + с = 2+6-8=0

в) 2009 х 2 +х – 2010 =0

Решение :

а + в + с = 2009+1 + (-2010) =0 , то х 1 =1 х 2 =

Рассмотрим решение уравнений

а) 2х 2 + 5х +3 = 0

Решение :

Д= 25 -24 =1 х 1 = х 2 = а – в + с = 2-5+3=0

б) -4х 2 -5х -1 =0

Решение :

Д =25 – 16 = 9 х 1 = – 1 х 2 = а –в + с = -4-(-5) – 1=0

в)1150х 2 +1135х -15 = 0

Решение :

а – в+с = 1150-1135 +(-15) = 0 х 1 = – 1 х 2 =

ах 2 +вх+с=0, если а-в+с=0, то х 1 = – 1 х 2 =

5. Новая тема

Проверим выполнение вами первого задания. С какими новыми понятиями вывстретились. 11 – ж, т. е.

Приведенное квадратное уравнение – х 2 +рх+q=0.

Тема нашего урока.
Заполним следующую таблицу.
Левый столбик сами в тетрадях и один ученик у доски.
Решение уравнения ах 2 +вх+с=0
Правый столбик, более подготовленный ученик у доски
Решение уравнения х 2 + рх + q = 0, при а = 1, в = р, с = q

Учитель (при необходимости) помогает, остальные в тетрадях.

Х 2 – 6х + 8 = 0,	Д = 9 – 8 = 1,	х 1 = 3 – 1 = 2	х 2 = 3 + 1 = 4
Х 2 + 6х + 8 = 0,	Д = 9 – 8 = 0,	х 1 = -3 – 1 = -4	х 2 = -3 + 1 = -2
Х 2 + 20х + 51 = 0,	Д = 100 – 51 = 49	х 1 = 10 – 7 = 3	х 2 = 10 + 7 = 17
Х 2 – 20х – 69 = 0,	Д = 100 – 69 = 31

По результатам наших вычислений заполним таблицу.

№ уравнения	р	х 1+ х 2	q	х 1 х 2
1	-6	6	8	8

Сравним полученные результаты с коэффициентами квадратных уравнений.
Какой вывод можно сделать?

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540–1603).

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была его увлечением, или как говорят хобби, благодаря упорному труду он добился в ней больших результатов. Виет в 1591 г. ввел буквенное обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений. Что дало возможность записывать общими формулами корни и другие свойства уравнения.

Недостатком алгебры Виета было то, что он признавал только положительные числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные приемы решения, что отнимало много времени, усложняло решение и часто приводило к ошибкам.

Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, то есть той зависимостью, которая называется “теоремой Виета”.

Эту теорему мы будем рассматривать на следующем уроке.

Вопросы :

1. Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?
2. По какой формуле можно найти корни приведенного квадратного уравнения?
3. От чего зависит число корней приведенного квадратного уравнения?
4. Что называют дискриминантом приведенного квадратного уравнения?
5. Как связаны корни приведенного квадратного уравнения и его коэффициенты?
6. Кто установил эту связь?

п. 4.5, №321(б,е) №322(а,г,ж,з)

Заполните таблицу.

Уравнение	Корни	Сумма корней	Произведение корней
Х 2 – 8х + 7 = 0	1 и 7	8	7

Литература

С.М. Никольский и др., “Алгебра 8” учебник серии “МГУ-школе” – М.: Просвещение, 2007.