Алгебра высказываний. Логические операции. I. Элементы алгебры логики

Пример 1. Установить истинность высказывания · С
Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

Эквивалентность высказываний.

С помощью таблиц истинности можно установить эквивалентность двух или нескольких высказываний.

Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.

Пример 2. Утверждается, что высказывание А+В· С эквивалентно высказыванию (А+В)· (А+С)
Решение. Проверка ведется путем составления таблицы истинности.

Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле А+В· С, совпадают со значениями, получаемыми по формуле (А+В)· (А+С), т.е. высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое.
Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком º А + В·Сº (А+В)· (А+С).
Отметим различие между эквивалентностью и эквиваленцией.
Эквиваленция является логической операцией, позволяющей по двум заданным высказываниям А и В построить новое А« В.
Эквивалентность же является отношением между двумя составными высказываниями, состоящим в том, что их значения истинности всегда одни и те же.

Тавтология.

Пусть дано высказывание А· и необходимо составить таблицу истинности.
Высказывание А· ложно, истинность его не зависит от истинности высказывания А.

Рассмотрим высказывание В+ .
В этом случае высказывание В+ всегда истинно, независимо от истинности В.

Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями.
Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания.
В формулах каждое тождественно-истинное высказывание заменяется 1, а тождественно-ложное - 0. Закон исключенного третьего.
A· º 0
В+ º 1

Пример 3. Докажите тавтологию (XÙ Y)® (XÚ Y)
Решение.

Т.к. высказывание (XÙ Y)® (XÚ Y) всегда истинно, то оно является тавтологией.

Пример 4. Докажите тавтологию ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Решение.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

Из таблицы видно, что исследуемое высказывание - тавтология, т.к. оно истинно постоянно.

Вопросы и задания.

1. Какому из ниже приведенных высказываний:

а) (A+C); б) +B; в) +C); г) A+ ;
эквивалентно высказывание (B+C)

2. Установите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул - тавтологии:
а) « ); б) ; в) ;

г) ; д) (X® Y)« (Y® X); е) (X® Y)« ;

ж) (X® Y)« .

3. Установить истинность высказывания

4. Эквивалентны ли высказывания:
и ?

5. Установить, является ли данное высказывание тавтологией:
а) ; б)

6. Для каждой формулы придумайте формализуемые ими предложения:
а) ; б) ; в) .

7. Из простых высказываний: “Виктор хороший пловец” - А; “Виктор хорошо ныряет” - В; “Виктор хорошо поет” - С, составлено сложное высказывание, формула которого имеет вид:
X=(A+C)· (A+B). Установить, эквивалентно ли высказывание Х высказыванию: “Виктор - хороший пловец и Виктор хорошо поет”.

8.
а) ; б) ;
в) ((X1® X2)® X3)Ù (X3« X1); г) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).

9. Установить истинность высказываний:
а) , , ;
б) , , ;
в) , , ;
г) , , .

Законы логики

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики.
Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств.
Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
Перечислим наиболее важные из них:
1. Xº X Закон тождества
2. Закон противоречия
3. Закон исключенного третьего
4. Закон двойного отрицания
5. XÙ Xº X , XÚ Xº C Законы идемпотентности
6. C Ù U º U Ù C , C Ú U º U Ú C Законы коммутативности (переместительности)
7 . (C Ù U) Ù Z ºC Ù (U Ù Z) , (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - Законы ассоциативности (сочетательности)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z) , C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Ú Z) - Законы дистрибутивности (распределительности)
9. , Законы де Моргана
10. XÙ 1º C , C Ú 0 º C
11. C Ù 0 º 0 , C Ú 1 º 1
12. C Ù (C Ú U) º C , C Ú (C Ù U) º C Законы поглощения
13. (C Ú U) Ù ( Ú U) º U , (C Ù U) Ú ( Ú U) º U Законы склеивания

1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.

Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием.
“Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.

Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.
“ Неверно, что 2× 2¹ 4”

Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.

Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:
- отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.
- отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.

Доказать законы логики можно:
1) с помощью таблиц истинности;
2) с помощью равносильностей.
Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:
1) (C Ú U) Ù ( Ú U) º (C + U) × ( + U) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × +U (1 + C) º U × + U º U ( + 1) º U (Закон склеивания)

2) C Ù (C Ú U) º C × C +C × U º C +C × U º C (1 + U) º C (Закон поглощения)

Задание. Доказать законы логики с помощью таблиц истинности.

Тождественные преобразования

Упрощение формул.

Пример 1. Упростить формулу (АÚВ)· (АÚС)
Решение.
а) Раскроем скобки (A Ú B) · (A ÚC) º A · A Ú A · C Ú B · A Ú B · C
б) По закону равносильности A · A º A , следовательно,
A · A Ú A · C ÚB · A Ú B · C º A ÚA · C Ú B · A Ú B · C
в) В высказываниях А и А· C вынесем за скобки А и используя свойство АÚ1º 1, получим АÚА· СÚ B · A Ú B · C º A ·(1 ÚС) Ú B · A Ú B · Сº A ÚB · A Ú B· С
г) Аналогично пункту в) вынесем за скобки высказывание А.
AÚB · A Ú B · Сº A (1ÚB)ÚB · Сº A Ú B · С
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

2. Преобразования “поглощение” и “склеивание”

Пример 2. Упростить выражение АÚ A · B

Решение. A ÚA · B º A (1 Ú B) º A - поглощение

Пример 3. Упростить выражение A · B Ú A · - знаки логического сложения;
- знаки логического умножения.
А будут использованы:
- знаки отрицания и логического умножения;
- знаки отрицания и логического сложения.

Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.
Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.

Пример 6. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического умножения.
Решение. Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания получим:

Значение истинности

Основным разделом математической логики является логика высказываний.

Высказыванием называют повествовательное предложение, которое имеет определенное значение истинности: истина или ложь. Истинному высказыванию ставится в соответствии 1, ложному – 0. Высказывания обозначаются буквами латинского алфавита.

Примеры простых высказываний:

1. А= «Число 100 больше числа 10»

2. В= «Сегодня я в школу не пойду»

Задания.

1) Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями:

1. Какого цвета этот дом?

2. Число Х не превосходит единицы.

4. Посмотрите в окно.

5. Пейте томатный сок!

6. Эта тема скучна.

7. Валерий Леонтьев – популярный певец.

2) Приведите примеры простых высказываний, определите их истинность или ложность.

Используя простые высказывания, можно образовать сложные , или составные, высказывания, в которые простые входят в качестве элементарных составляющих. Примеры сложных высказываний:

1. А= «Число 100 больше 10, но меньше 1000»

2. В= «Если завтра будет дождь, то в поход мы не пойдем»

Какие простые высказывания входят в сложные А и В?

В образовании сложных высказываний используются слова: и, или, тогда и только тогда, когда (в том и только в том случае), если..., то..., нет. Их называют логическими связками или логическими операциями.

Основная задача логики высказываний заключается в том, чтобы на основании истинности или ложности простых высказываний определить истинность или ложность сложных высказываний.

Логические операции

1) Инверсия (операция отрицания или логическое отрицание, НЕ). Обозначается ù, ` .

Если А - истинное высказывание, то `А – ложное высказывание, и наоборот .

2) Конъюнкция (логическое умножение, соответствует союзу И). Обозначается Ù, × , & , математическим знаком умножения или опуская его.

Например: С = «Солнце светит и нет дождя».

Обозначим А = «Солнце светит», В= «нет дождя».

Тогда высказывание С можно записать: А Ù В (или А&В, А×В, АВ).

3) Дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ), имеет два различных значения. Следует различать исключающее «или» и неисключающее «или».

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении «Обычно в 8 вечера я смотрю теле­визор или пью чай» союз «или» взят в неисключающем (объедини­тельном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называетсянестрогой дизъюнкцией или просто дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с просмотром телепередач.)

В высказывании «Данный глагол I или II спряжения» союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле.Такаяоперация называетсястрогой дизъюнкцией.

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

а) Операция дизъюнкция (логическое сложение, нестрогая дизъюнкция), соответствует неисключающему ИЛИ, обозначается Ú , +.

Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно высказывание истинно, а другое ложно.

4) Импликация . Выражается словосочетанием «если … то». Импликация А ® В истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно . Таблица истинности импликации имеет следующий вид:

(Из опыта : Операция импликации (логического следования) является наиболее сложной для учащихся, так как она самая «формально опреде­ленная» и не подкрепляется «здравым смыслом». В процессе ее изучения имеет смысл поговорить о формальном исполнителе и его отличии от неформального .)

Примеры импликаций:

1) Если клятва дана, то она должна выполняться.

2) Если число делится на 9, то оно делится на 3.

В логике допустимо рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания.

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассматривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»;

1) Если коровы летают, то 2 + 2 = 5.

2) Если я - Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Объяснить операцию импликацию можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания:

А = На улице дождь. В = Асфальт мокрый .

А®В = «Если на улице дождь, то асфальт мокрый.»

Тогда, если идет дождь (А = 1) и асфальт мокрый (В = 1), то это правильно. Но если вам скажут, что на улице идет дождь (А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчитаете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).

5) Операция эквиваленция обозначается знаками «, =, Û. Сложное высказывание А«В
(А эквивалентно В) истинно тогда и только тогда, когда и А и В истинны, или когда и А и В – ложны.

Сводная таблица логических операций

(заполняется учащимися самостоятельно):

Ниже приведена таблица логических операций и их перевода на естественный язык.

Приоритет выполнения операций : при отсутствии скобок первой всегда выполняется операция отрицания, затем конъюнкция, дизъюнкция, импликация и в последнюю очередь эквиваленция.

Упражнения.

1. Даны два высказывания:

А={Число 5 - простое},

В={Число 4 - нечетное},

Очевидно, что А=1, В=0.

В чем заключаются высказывания:

а) Ā, б) `В, в) АВ, г) А+В д) А®В

Какие из высказываний а) – г) истинны? Составьте таблицы истинности.

2. Найдите значения выражений:

а) (1 + 1) Ú (1 + 0);

б) ((1 + 0) + 1) + 1;

в) (А + 1) + (В + 0);

г) (0 Ù 1) Ù 1;

д) 1 Ù (1 Ù 1) Ù 1;

е) ((1 Ú 0) Ù (1 Ù 1) Ù (0 Ú 1);

ж) ((1 Ù А) Ú (В Ù 0)) Ú 1;

з) ((1 Ù 1) Ú 0) Ù (0 Ú 1);

и) ((0 Ù 0) Ú 0) Ù (1 Ú 1);

к) ((0 × 1) + (1 + 1)) × 1.

3. Переведите на язык алгебры логики высказывания:

1) «Я поеду в Москву, и если встречу там друзей, то мы интересно проведем там время»

2) «Если я поеду в Москву и встречу там друзей, то мы интересно проведем там время»

3) «Неверно, что если дует ветер, то солнце светит только тогда, когда нет дождя».

4) «Если будет солнечная погода, то ребята пойдут в лес, а если будет пасмурно, то пойдут в кино»

5) «Неверно, что если погода пасмурная, то дождь тогда и только тогда, когда нет ветра».

6) «Если урок по информатике будет интересным, то ни Миша, ни Света, ни Вика не будут смотреть в окно»

Решение:

1) М × (В ® И); 2) (М × В) ® И; 3) В ® С ®`Д;

4) (С ® Л) × (`С ® К); 5) П ® (Д « `В); 6) И ® `М ×`С ×`В

1) «Вам никогда не удастся создать мудрецов, если будете убивать в детях шалунов» (Ж.Руссо).

2) «Чтение художественной литературы – неоценимый источник познания жизни и законов ее борьбы».

4) «Мудрость – это способность предвидеть отдаленные последствия совершаемых действий, готовность пожертвовать сиюминутной выгодой ради больших благ в будущем и умение управлять тем, что управляемо, не сокрушаясь из-за того, что неуправляемо» (Ракофф).

6) «Верность друга нужна и в счастье, в беде же она совершенно необходима».

4. Являются ли высказываниями русские народные пословицы и поговорки? Приведите примеры. (Из опыта : Объявляется конкурс «Знаешь ли ты пословицы, которые являются высказываниями». Победителей обычно несколько, поощряются оценками и поощрительными аплодисментами одноклассников )

Самостоятельная работа №1.

(примерные задания в приложении 1, некоторые решения и ответы в приложении 2)

1) Решить логическую задачу табличным способом;

2) Записать сложные высказывания на языке алгебры логики;

3) Найти значение выражения.

Таблицы истинности

Итак, сложное высказывание принимает значение 1 или 0 в зависимости от значений простых высказываний, входящих в него.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывания при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности сложного высказывания.

Из полученной таблицы видно, что значения формулы А`В ® А совпадают со значениями формулы А. Такие формулы называются равносильными . Для обозначения равносильности используют обычно знак равенства.

Для составления таблицы истинности сложного высказывания, в которое входит более двух переменных, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

2. Определить число строк в таблице m= 2 n .

3. Определить количество столбцов в таблице: число переменных плюс число операций.

4. Выписать наборы входных переменных с учетом того, что они представляют собой натуральный ряд n–разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n -1.

5. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии приоритета операций.

Пример. Построить таблицу истинности для формулы F=A ® B&C

Упражнения.

1. Проверьте равносильность следующих формул с помощью таблиц истинности:

1) А (А + В) = А

2) А + АВ = А

3) А ® В = Ā + В

4) А ® В = `А ®`В

5) `А +`В = А В

6) А + В = Ā ×`В

2. Определите значение формулы: F= ((С+В)®В) × (АВ) ®В.

Понятие «высказывание» первично. Под высказыванием в логике понимают повествовательное предложение, о котором можно говорить, что оно истинно или ложно. Любое высказывание либо истинно, либо ложно, и никакое высказывание не является одновременно истинным и ложным.

Примеры высказываний: есть четное число», «1 есть простое число». Истинностное значение первых двух высказываний - «истина», истинностное значение последних двух

Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями. Определения не являются высказываниями. Например, определение «целое число называется четным, если оно делится на 2» не является высказыванием. Однако повествовательное предложение «если целое число делится на 2, то оно четное» есть высказывание, и притом истинное. В логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания, ограничиваясь рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.

В дальнейшем будем понимать под значением высказывания его истинностное значение («истина» или «ложь»). Высказывания будем обозначать прописными латинскими буквами, а их значения, т. е. «истина» или «ложь» - соответственно буквами И и Л.

Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части, внутренняя структура которых нас не будет интересовать.

Логические операции над высказываниями.

Из элементарных высказываний с помощью логических операций можно получать новые, более сложные высказывания. Истинностное значение сложного высказывания зависит от истинностных значений высказываний, составляющих сложное высказывание. Эта зависимость устанавливается в данных ниже определениях и отражается в истинностных таблицах. В левых столбцах этих таблиц размещаются всевозможные распределения истинностных значений для высказываний, непосредственно составляющих рассматриваемое сложное высказывание. В правом столбце пишут истинностные значения сложного высказывания соответственно распределениям в каждой строке.

Пусть А и В - произвольные высказывания, относительно которых мы не предполагаем, что известны их истинностные значения. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно. Отрицание А обозначается через и читается «не A» или «неверно, что А». Операция отрицания полностью определяется истинностной таблицей

Пример. Высказывание «неверно, что 5 - четное число», имеющее значение И, есть отрицание ложного высказывания «5 - четное число».

С помощью операции конъюнкции из двух высказываний получается одно сложное высказывание, обозначаемое А Д В. По определению, высказывание А Д В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым членами конъюнкции А Д В. Запись «А Д В» читается как «Л и В». Истинностная таблица для конъюнкции имеет вид

Пример. Высказывание «7 - простое число и 6 - нечетное число» ложно, как конъюнкция двух высказываний, одно из которых ложно.

Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое , истинное в том и только в том случае, когда хотя бы одно из высказываний А и В истинно.

Соответственно этому высказывание А V В ложно в том и только том случае, когда и А и В оба ложны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым членами дизъюнкции А V В. Читается запись А V В как «A или В». Союз «или» в данном случае носит неразделительный смысл, поскольку высказывание А V В истинно и при истинности обоих членов. Дизъюнкция имеет следующую истинностную таблицу:

Пример. Высказывание «3 Высказывание, обозначаемое , ложное в том и только в том случае, когда А истинно, а В ложно, называется импликацией с посылкой А и заключением В. Высказывание А-+ В читается как «если А, то 5», или «A влечет В», или «из A следует В». Истинностная таблица для импликации такова:

Отметим, что между посылкой и заключением могут отсутствовать причинно-следственные связи, но это не может повлиять на истинность или ложность импликации. Например, высказывание «если 5 - простое число, то биссектриса равностороннего треугольника является медианой» будет истинным, хотя в обычном понимании второе не следует из первого. Истинным также будет высказывание «если 2 + 2 = 5, то 6 + 3 = 9», поскольку истинно его заключение. При данном определении, если заключение истинно, импликация будет истинной независимо от истинностного значения посылки. В том случае, когда ложна посылка, импликация будет истинна независимо от истинностного значения заключения. Эти обстоятельства кратко формулируют так: «истина следует из чего угодно», «из ложного следует все, что угодно».

Среди возможных значений истинности лингвистической переменной Истинность два значения привлекают особое внимание, а именно пустое множество и единичный интервал , которые соответствуют наименьшему и наибольшему элементам (по отношению включения) решетки нечетких подмножеств интервала . Важность именно этих значений истинности обусловлена тем, что их можно интерпретировать как значения истинности не определено и неизвестно соответственно. Для удобства будем обозначать эти значения истинности символами и , понимая при этом, что и определяются выражениями

Значения неизвестно и не определено , интерпретируемые как степени принадлежности, используются также в представлении нечетких множеств типа 1. В этом случае имеются три возможности выражения степени принадлежности точки в : 1) число из интервала ; 2) (не определено ); 3) (неизвестно ).

Рассмотрим простой пример. Пусть

Возьмем нечеткое подмножество множества вида

В этом случае степень принадлежности элемента множеству есть неизвестно , а степень принадлежности есть не определено . В более общем случае может быть

где имеется в виду, что степень принадлежности элемента множеству частично неизвестна, причем член интерпретируется следующим образом:

. (6.56)

Важно четко понимать разницу между и . Когда мы говорим, что степень принадлежности точки множеству есть , мы имеем в виду, что функция принадлежности не определена в точке . Предположим, например, что - множество действительных чисел, а - функция, определенная на множестве целых чисел, причем , если - четное, и , если - нечетное. Тогда степень принадлежности числа множеству есть , а не 0. С другой стороны, если бы была определена на множестве действительных чисел и тогда и только тогда, когда - четное число, то степень принадлежности числа множеству была бы равна 0.

Поскольку мы умеем вычислять значения истинности высказываний и , или и не по заданным лингвистическим значениям истинности высказываний и , нетрудно вычислить и значения , , , когда . Предположим, например, что

, (6.57)

. (6.58)

Применяя принцип обобщения, как в (6.25), получим

, (6.59)

После упрощения (6.59) сводится к выражению

. (6.61)

Другими словами, значение истинности высказывания и , где , есть нечеткое подмножество интервала , степень принадлежности которому точки равна (функции принадлежности ) на интервале .

Рис. 6.4. Конъюнкция и дизъюнкция значений истинности высказывания со значением истинности неизвестно ().

Аналогично находим, что значение истинности высказывания или выражается в виде

. (6.62)

Следует отметить, что выражения (6.61) и (6.62) легко получить с помощью описанной выше графической процедуры (см. (6.38) и далее). Пример, иллюстрирующий это, показан на рис. 6.4.

Обращаясь к случаю , находим

(6.63)

и аналогично для .

Поучительно проследить, что происходит с приведенными выше соотношениями, когда мы применяем их к частному случаю двузначной логики, т. е. к случаю, когда универсальное множество имеет вид

или в более привычном виде

где означает истинный , а - ложный . Поскольку есть , мы можем отождествить значение истинности неизвестно со значением истинный или ложный , т. е.

Результирующая логика имеет четыре значения истинности , , и и является обобщением двузначной логики в смысле замечания 6.5.

Поскольку универсальное множество значений истинности состоит лишь из двух элементов, целесообразно построить таблицы истинности для операций , и в этой четырехзначной логике непосредственно, т. е. без использования общих формул (6.25), (6.29) и (6.31). Так, применяя принцип обобщения к операции , сразу получаем

откуда с необходимостью следует, что

На этом пути мы приходим к обычному определению связки ⟹ в двузначной логике в виде следующей таблицы истинности:

Как показывает рассмотренный выше пример, понятие значения истинности неизвестно в сочетании с принципом обобщения помогает уяснить некоторые из понятий и соотношений обычных двузначной и трехзначной логик. Эти логики, конечно, можно рассматривать как вырожденные случаи нечеткой логики, в которой значением истинности неизвестно является весь единичный интервал, а не множество 0 + 1.