Что такое непрерывность функции. Понятие непрерывности функции

1. Введение.

2. Определение непрерывности функции.

3. Классификация точек разрыва

4. Свойства непрерывных функций.

5. Экономический смысл непрерывности.

6. Заключение.

10.1. Введение

Всякий раз, оценивая неизбежные с течением времени изменения в окружающем нас мире, мы пытаемся проанализировать происходящие процессы, чтобы выделить их наиболее существенные черты. Один из первых на этом пути встает вопрос: как происходят характерные для этого явления изменения – непрерывно или дискретно , т.е. скачкообразно. Равномерно ли понижается курс валюты или обваливается, происходит постепенная эволюция или революционный скачок? Чтобы унифицировать качественные и количественные оценки происходящего, следует абстрагироваться от конкретного содержания и изучить проблему в терминах функциональной зависимости. Это позволяет сделать теория пределов, которую мы рассматривали на прошлой лекции.

10.2. Определение непрерывности функции

Непрерывность функции интуитивно связано с тем, что ее графиком является сплошная, нигде не прерывающаяся кривая. Мы вычерчиваем график такой функции, не отрывая ручки от бумаги. Если функция задана таблично, то о ее непрерывности, строго говоря, судить нельзя, потому что при заданном шаге таблицы поведение функции в промежутках не определено.

В реальности при непрерывности имеет место следующее обстоятельство: если параметры, характеризующие ситуацию, немного изменить, то не много изменится и ситуация. Здесь важно не то, что ситуация изменится, а то, что она изменится «немного».

Сформулируем понятие непрерывности на языке приращений. Пусть некоторое явление описывается функцией и точка a принадлежит области определения функции. Разность называется приращением аргумента в точке a , разность – приращением функции в точке a .

Определение 10.1. Функция непрерывна в точке a, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

Пример 10.1. Исследовать на непрерывность функцию в точке .

Решение. Построим график функции и отметим на нем приращения Dx и Dy (рис. 10.1).

Из графика видно, что чем меньше приращение Dx , тем меньше Dy . покажем это аналитически. Приращение аргумента равно , тогда приращение функции в этой точке будет равно

Отсюда видно, что если , то и :

Дадим еще одно определение непрерывности функции.

Определение 10.2. Функция называется непрерывной в точке а, если:

1) она определена в точке а, и некоторой ее окрестности;

2) односторонние пределы существуют и равны между собой:

;

3) предел функции при х ®а равен значению функции в этой точке:

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то говорят, что функция претерпевает разрыв .

Это определение является рабочим для установления непрерывности в точке. Следуя его алгоритму и отмечая совпадения и несовпадения требований определения и конкретного примера, можно сделать вывод о непрерывности функции в точке.

В определении 2 четко проступает идея близости, когда мы вводили понятие предела. При неограниченном приближении аргумента x к предельному значению a , непрерывная в точке a функция f (x ) сколь угодно близко приближается к предельному значению f (a ).

10.3. Классификация точек разрыва

Точки, в которых нарушаются условия непрерывности функции, называются точками разрыва этой функции. Если x 0 – точка разрыва функции , в ней не выполняется, по крайней мере, одно из условий непрерывности функции. Рассмотрим следующий пример.

1. Функция определена в некоторой окрестности точки a , но не определена в самой точке a . Например, функция не определена в точке a =2, поэтому претерпевает разрыв (см. рис. 10.2).

Рис. 10.2 Рис. 10.3

2. Функция определена в точке a и в некоторой ее окрестности, ее односторонние пределы существуют, но не равны другу:, то функция претерпевает разрыв. Например, функция

определена в точке , однако при функция испытывает разрыв (см. рис. 10.3), т.к.

и ().

3. Функция определена в точке a и в некоторой ее окрестности, существует предел функции при , но этот предел не равен значению функции в точке a :

Например, функция (см. рис. 10.4)

Здесь – точка разрыва:

Все точки разрыва делятся на точки устранимого разрыва, точки разрыва первого и второго рода.

Определение 10.1. Точка разрыва называется точкой устранимого разрыва , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, равные друг другу:

Предел функции в этой точке существует, но не равен значению функции в предельной точке (если функция определена в предельной точке), или функция в предельной точке не определена.

На рис. 10.4 в точке условия непрерывности нарушены, и функция имеет разрыв. На графике точка (0; 1) выколота . Впрочем, этот разрыв легко устранить – достаточно переопределить данную функцию, положив ее равной своему пределу в этой точке, т.е. положить . Поэтому такие разрывы называются устранимыми.

Определение 10.2. Точка разрыва называется точкой разрыва 1-го рода , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, но они не равны друг другу:

Говорят, что в этой точке функция испытывает скачок .

На рис. 10.3 функция имеет разрыв 1-го рода в точке . Пределы слева и справа в этой точке равны:

и .

Скачок функции в точке разрыва равен .

Доопределить такую функцию до непрерывной невозможно. График состоит из двух полупрямых, разделенных скачком.

Определение 10.3. Точка разрыва называется точкой разрыва 2-го рода , если, по крайней мере, один из односторонних пределов функции (слева или справа) не существуют или равны бесконечности.

На рис 10.3 функция в точке имеет разрыв 2-го рода. Рассмотренная функция при является бесконечно большой и конечного предела ни справа, ни слева не имеет. Поэтому говорить о непрерывности в такой точке не приходится.

Пример 10.2. Построить график и определить характер точек разрыва:

Решение. Построим график функции f (x ) (рис 10.5).

Из рисунка видно, что исходная функция имеет три точки разрыва: , x 2 = 1,
x 3 = 3. Рассмотрим их по порядку.

Поэтому точке имеется разрыв 2-го рода .

а) Функция определена в этой точке: f (1) = –1.

б) , ,

т.е. в точке x 2 = 1 имеется устранимый разрыв . Переопределив значение функции в этой точке: f (1) = 5, разрыв устраняется и функция в этой точке становится непрерывной.

а) Функция определена в этой точке: f (3) = 1.

Значит, в точке x 1 = 3 имеется разрыв 1-го рода . Функция в этой точке испытывает скачок, равный Dy = –2–1 = –3.

10.4. Свойства непрерывных функций

Вспоминая соответствующие свойства пределов, заключаем, что функция, являющаяся результатом арифметических действий над непрерывными в одной и той же точке функциями, также непрерывны. Отметим:

1) если функции и непрерывны в точке a , то функции , и (при условии, что ) также непрерывны в этой точке;

2) если функция непрерывна в точке a и функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке a и

т.е. знак предела можно вносить под знак непрерывной функции.

Говорят, что функция непрерывна на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества . График такой функции – непрерывная линия, которая вычеркивается одним росчерком пера.

Все основные элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены .

Функции, непрерывные на отрезке , обладают рядом важных отличительных свойств. Сформулируем теоремы, выражающие некоторые из этих свойств.

Теорема 10.1 (теорема Вейерштрасса ). Если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке достигает своих наименьшего и наибольшего значений.

Теорема 10.2 (теорема Коши ). Если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим значениями .

Из теоремы Коши следует следующее важное свойство.

Теорема 10.3 . Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то между a и b найдется такая точка c, в которой функция обращается в нуль: .

Геометрический смысл этой теоремы очевиден: если график непрерывной функции переходит с нижней полуплоскости на верхнюю (или наоборот), то по крайней мере в одной точке она пересечет ось Ox (рис.10.6).

Пример 10.3. Приближенно вычислить корень уравнения

, (т.е. приближенно заменить) многочленном соответствующей степени.

Это очень важное для практики свойство непрерывных функций. Например, очень часто непрерывные функции задаются таблицами (данными наблюдений или экспериментов). Тогда используя какой-либо метод можно таблично заданную функцию заменить многочленом. В соответствии с теоремой 10.3 это можно всегда сделать с достаточно высокой точностью. Работать с аналитически заданной функцией (тем более с многочленом) гораздо проще.

10.5. Экономический смысл непрерывности

Большинство функций, используемых в экономике, являются непрерывными и это позволяет высказывать вполне значимые утверждения экономического содержания.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Налоговая ставка N имеет примерно такой график, как на рис. 10.7а.

На концах промежутков она разрывна и разрывы эти 1-го рода. Однако сама величина подоходного налога P (рис. 10.7б) является непрерывной функцией годового дохода Q . Отсюда, в частности, вытекает, что если годовые доходы двух людей различаются незначительно, то и различие в величинах подоходного налога, который они должны уплатить, также должны различаться не значительно. Интересно, что обстоятельство воспринимается огромным большинством людей как совершенно естественное, над которым они даже не задумываются.

10.6. Заключение

Под занавес позволим себе небольшое отступление.

Вот как можно графически выразить грустное наблюдение древних:

Sic transit Gloria mundi …

(Так проходит земная слава …)

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Понятие функции

Понятие функции.. все течет и все меняется гераклит.. таблица х х х х y у у у у у..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:

Пример 1

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение :

1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.

Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.

Как выглядит график данной функции?

Хочется провести упрощение , и вроде бы получается обычная парабола. НО исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:

Выполним чертёж:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.

Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.

Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.

Разделаемся с любимыми модулями:

Пример 2

Решение : почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков . Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: , где «альфа» - некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:

Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:

Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения : перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.

Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа - кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :

Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию (не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.

Исследуем функцию на непрерывность аналитически:

1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.

2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Заметьте, что не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.

Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования;-)) и завершить задание:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно - из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).

Пример 3

Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.

Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.

Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:

Пример 4

Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции

Решение : очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):

Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .

Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) - функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

- односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.

На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Пример 5

Исследовать функцию на непрерывность и построить её график .

Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.

Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой - обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами - будет несколько интересных и важных фишек:

Пример 6

Дана функция . Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.

Решение : и снова сразу выполним чертёж на черновике:

Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .

Из чертежа всё понятно - функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4-х подобных примеров:

I) Исследуем на непрерывность точку

2) Вычислим односторонние пределы:

, значит, общий предел существует.

Случился тут небольшой курьёз. Дело в том, что я создал немало материалов о пределах функции , и несколько раз хотел, да несколько раз забывал об одном простом вопросе. И вот, невероятным усилием воли таки заставил себя не потерять мысль =) Скорее всего, некоторые читатели-«чайники» сомневаются: чему равен предел константы? Предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).

3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) - функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

И здесь, в правостороннем пределе - предел единицы равен самой единице.

- общий предел существует.

3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.

Ответ : функция непрерывна в точках .

Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).

Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:

Пример 7

Дана функция .

Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.

Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет;-)

Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:

Пример 8

Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.

Решение : нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование:

I) Исследуем на непрерывность точку

2) Найдём односторонние пределы:

Обратите внимание на типовой приём вычисления одностороннего предела : в функцию вместо «икса» мы подставляем . В знаменателе никакого криминала: «добавка» «минус ноль» не играет роли, и получается «четыре». А вот в числителе происходит небольшой триллер: сначала в знаменателе показателя убиваем -1 и 1, в результате чего получается . Единица, делённая на , равна «минус бесконечности», следовательно: . И, наконец, «двойка» в бесконечно большой отрицательной степени равна нулю: . Или, если ещё подробнее: .

Вычислим правосторонний предел:

И здесь - вместо «икса» подставляем . В знаменателе «добавка» снова не играет роли: . В числителе проводятся аналогичные предыдущему пределу действия: уничтожаем противоположные числа и делим единицу на:

Правосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .

II) Исследуем на непрерывность точку

1) Функция не определена в данной точке.

2) Вычислим левосторонний предел:

Метод такой же: подставляем в функцию вместо «икса» . В числителе ничего интересного - получается конечное положительно число . А в знаменателе раскрываем скобки, убираем «тройки», и решающую роль играет «добавка» .

По итогу, конечное положительное число, делённое на бесконечно малое положительное число , даёт «плюс бесконечность»: .

Правосторонний предел, как брат близнец, за тем лишь исключением, что в знаменателе выплывает бесконечно малое отрицательное число :

Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .

Таким образом, у нас две точки разрыва, и, очевидно, три ветки графика. Для каждой ветки целесообразно провести поточечное построение, т.е. взять несколько значений «икс» и подставить их в . Заметьте, что по условию допускается построениесхематического чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Я строю графики с помощью проги, поэтому не имею подобных затруднений, вот достаточно точная картинка:

Прямые являются вертикальными асимптотами для графика данной функции.

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точек , в которых она терпит разрывы 2-го рода.

Более простая функция для самостоятельного решения:

Пример 9

Исследовать на непрерывность функцию и выполнить схематический чертёж.

Примерный образец решения в конце, который подкрался незаметно.

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : преобразуем функцию: . Учитывая правило раскрытия модуля и тот факт, что , перепишем функцию в кусочном виде:

Исследуем функцию на непрерывность.

1) Функция не определена в точке .

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Выполним чертёж:

Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком. Скачок разрыва: (две единицы вверх).

Пример 5: Решение : каждая из трёх частей функции непрерывна на своём интервале.
I)
1)

2) Вычислим односторонние пределы:

, значит, общий предел существует.
3) - предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
II) Исследуем на непрерывность точку

1) - функция определена в данной точке. функция терпит разрыв 2-го рода, в точке

Как найти область определения функции?

Примеры решений

Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть

Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия - Область определения функции . Активное обсуждение данного понятия началось на первом же уроке о графиках функций , где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.

Предполагается, читатель знает области определения основных функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, логарифма, синуса, косинуса. Они определены на . За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) Более редкие графики запоминаются далеко не сразу.

Область определения - вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной , навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.

Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения - это множество значений «икс» , для которых существуют значения «игреков». Рассмотрим условный пример:

Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: - значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».

Грубо говоря, где область определения - там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.

Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статье Графики и свойства элементарных функций .

Непрерывная функция представляет собой функцию без «скачков», то есть такую, для которой выполняется условие: малым изменениям аргумента следуют малые изменения соответствующих значений функции. График подобной функции представляет из себя плавную или непрерывную кривую.

Непрерывность в точке, предельной для некоторого множества, можно определить с помощью понятия предела, а именно: функция должна иметь в этой точке предел, который равен ее значению в предельной точке.

При нарушении этих условий в некоторой точке, говорят, что функция в данной точке терпит разрыв, то есть ее непрерывность нарушается. На языке пределов точку разрыва можно описать как несовпадение значения функции в разрывной точке с пределом функции (если он существует).

Точка разрыва может быть устранимой, для этого необходимо существование предела функции, но несовпадающего с его значением в заданной точке. В этом случае ее в этой точке можно «поправить», то есть доопределить до непрерывности.
Совсем иная картина складывается, если предела функции в заданной существует. Возможно два варианта точек разрыва:

первого рода - имеются и конечны оба из односторонних пределов, и значение одного из них или обоих не совпадают со значением функции в заданной точке;
второго рода, когда не существует один или оба из односторонних пределов или их значения бесконечны.

Свойства непрерывных функций

Функция, полученная в результат арифметических действий, а также суперпозиции непрерывных функций на их области определения также является непрерывной.
Если дана непрерывная функция, которая положительна в некоторой точке, то всегда можно найти достаточно малую ее окрестность, на которой она сохранит свой знак.
Аналогично, если ее значения в двух точках A и B равны, соответственно, a и b, причем a отлично от b, то для промежуточных точек она примет все значения из промежутка (a ; b). Отсюда можно сделать интересное заключение: если дать растянутой резинке сжаться так, чтобы она не провисала (оставалась прямолинейной), то одна из ее точек останется неподвижной. А геометрически это означает, что существует прямая, проходящая через любую промежуточную точку между A и B, которая пересекает график функции.

Отметим некоторые из непрерывных (на области их определения) элементарных функций:

постоянная;
рациональная;
тригонометрические.

Между двумя фундаментальными понятиями в математике - непрерывностью и дифференцируемостью - существует неразрывная связь. Достаточно только вспомнить, что для дифференцируемости функции необходимо, чтобы это была непрерывная функция.

Если же функция в некоторой точке дифференцируема, то там она непрерывна. Однако совсем не обязательно, чтобы и ее производная была непрерывной.

Функция, имеющая на некотором множестве непрерывную производную, принадлежит отдельному классу гладких функций. Иначе говоря, это - непрерывно дифференцируемая функция. Если же производная имеет ограниченное количество точек разрыва (только первого рода), то подобную функцию называют кусочно гладкой.

Еще одним важным понятием является равномерная непрерывность функции, то есть ее способность быть в любой точке своей области определения одинаково непрерывной. Таким образом, это свойство, которое рассматривается на множестве точек, а не в какой-либо отдельно взятой.

Если же зафиксировать точку, то получится не что иное, как определение непрерывности, то есть из наличия равномерной непрерывности вытекает, что перед нами непрерывная функция. Вообще говоря, обратное утверждение неверно. Однако согласно теореме Кантора, если функция непрерывна на компакте, то есть на замкнутом промежутке, то она на нем равномерно непрерывна.

Пусть точка a принадлежит области задания функции f(x) и любая ε -окрестность точки a содержит отличные от a точки области задания функции f(x) , т.е. точка a является предельной точкой множества {x} , на котором задана функция f(x) .

Определение . Функция f(x) называется непрерывной в точке a , если функция f(x) имеет в точке a предел и этот предел равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .

Из этого определения имеем следующее условие непрерывности функции f(x) в точке a :

Так как , то мы можем записать

Следовательно, для непрерывной в точке a функции символ предельного перехода и символ f характеристики функции можно менять местами.

Определение . Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке a , если правый (левый) предел этой функции в точке a существует и равен частному значению f(a) функции f(x) в точке a .

Тот факт, что функция f(x) непрерывна в точке a справа записывают так:

А непрерывность функции f(x) в точке a слева записывают как:

Замечание . Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

Теорема . Пусть на одном и том же множестве заданы функции f(x) и g(x) , непрерывные в точке a . Тогда функции f(x)+g(x) , f(x)-g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) - непрерывны в точке a (в случае частного нужно дополнительно требовать g(a) ≠ 0 ).

Непрерывность основных элементарных функций

1) Степенная функция y=x n при натуральном n непрерывна на всей числовой прямой.

Сначала рассмотрим функцию f(x)=x . По первому определению предела функции в точке a возьмем любую последовательность {x n } , сходящуюся к a , тогда соответствующая последовательность значений функций {f(x n)=x n } также будет сходиться к a , то есть , то есть функция f(x)=x непрерывная в любой точек числовой прямой.

Теперь рассмотрим функцию f(x)=x n , где n - натуральное число, тогда f(x)=x · x · … · x . Перейдем к пределу при x → a , получим , то есть функция f(x)=x n непрерывна на числовой прямой.

2) Показательная функция.

Показательная функция y=a x при a>1 является непрерывной функцией в любой точке бесконечной прямой.

Показательная функция y=a x при a>1 удовлетворяет условиям:

3) Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на всей полупрямой x>0 при a>1 и непрерывна и убывает на всей полупрямой x>0 при 0, причем

4) Гиперболические функции.

Гиперболическими функциями называются следующие функции:

Из определения гиперболических функции следует, что гиперболический косинус, гиперболический синус и гиперболический тангенс заданы на всей числовой оси, а гиперболический котангенс определен всюду на числовой оси, за исключением точки x=0 .
Гиперболические функции непрерывны в каждой точке области их задания (это следует из непрерывности показательной функции и теоремы об арифметических действиях).
5) Степенная функция
Степенная функция y=x α =a α log a x непрерывна в каждой точке открытой полупрямой x>0 .
6) Тригонометрические функции.
Функции sin x и cos x непрерывны в каждой точке x бесконечной прямой. Функция y=tg x (kπ-π/2,kπ+π/2) , а функция y=ctg x непрерывна на каждом из интервалов ((k-1)π,kπ) (здесь всюду k - любое целое число, т.е. k=0, ±1, ±2, …) .
7) Обратные тригонометрические функции.
Функции y=arcsin x и y=arccos x непрерывны на отрезке [-1, 1] . Функции y=arctg x и y=arcctg x непрерывны на бесконечной прямой.
Два замечательных предела

Теорема . Предел функции (sin x)/x в точке x=0 существует и равен единице, т.е.
Этот предел называется первым замечательным пределом .
Доказательство . При 0 справедливы неравенства 0<\sin x. Разделим эти неравенства на sin x , тогда получим
Эти неравенства справедливы также и для значений x , удовлетворяющих условиям -π/2. Это следует из того, что cos x=cos(-x) и . Так как cos x - непрерывная функция, то . Таким образом, для функций cos x , 1 и в некоторой δ -окрестности точки x=0 выполняются все условия теорем. Следовательно, .
Теорема . Предел функции при x → ∞ существует и равен числу e :
Этот предел называется вторым замечательным пределом .
Замечание . Верно также, что
Непрерывность сложной функции

Теорема . Пусть функция x=φ(t) непрерывна в точке a , а функция y=f(x) непрерывна в точке b=φ(a) . Тогда сложная функция y=f[φ(t)]=F(t) непрерывна в точке a .
Пусть x=φ(t) и y=f(x) - простейшие элементарные функции, причем множество значений {x} функции x=φ(t) является областью задания функции y=f(x) . Как мы знаем, элементарные функции непрерывны в каждой точке области задания. Поэтому по предыдущей теореме сложная функция y=f(φ(t)) , то есть суперпозиция двух элементарных функций, непрерывна. Например, функция непрерывна в любой точке x ≠ 0 , как сложная функция от двух элементарных функций x=t -1 и y=sin x . Также функция y=ln sin x непрерывна в любой точке интервалов (2kπ,(2k+1)π) , k ∈ Z (sin x>0 ).

Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 1 и 2. График первой функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Эту функцию можно назвать непрерывной. График другой функции так нарисовать нельзя. Он состоит из двух непрерывных кусков, а в точке имеет разрыв, и функцию мы назовем разрывной.
Такое наглядное определение непрерывности никак не может устроить математику, поскольку содержит совершенно нематематические понятия «карандаш» и «бумага». Точное математическое определение непрерывности дается на основе понятия предела и состоит в следующем.
Пусть функция определена на отрезке и - некоторая точка этого отрезка. Функция называется непрерывной в точке , если при стремлении к ( рассматривается только из отрезка ) значения функции стремятся к , т.е. если
. (1)
Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой его точке.
Если в точке равенство (1) не выполняется, функция называется разрывной в точке .
Как видим, математически свойство непрерывности функции на отрезке определяется через местное (локальное) свойство непрерывности в точке.
Величина называется приращением аргумента, разность значений функции называется приращением функции и обозначается . Очевидно, что при стремлении к приращение аргумента стремится к нулю: .
Перепишем равенство (1) в равносильном виде
.
Используя введенные обозначения, его можно переписать так:
Итак, если функция непрерывна, то при стремлении приращения аргумента к нулю приращение функции стремится к нулю. Говорят и иначе: малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. На рис. 3 приведен график непрерывной в точке функции, приращению соответствует приращение функции . На рис. 4 приращению соответствует такое приращение функции , которое, как бы мало ни было, не будет меньше половины длины отрезка ; функция разрывна в точке .
Наше представление о непрерывной функции как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, прекрасно подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в математическом анализе. Отметим, например, такие их свойства.
1. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю.
2. Функция , непрерывная на отрезке , принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, т.е. между и .
3. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения, т.е. если - наименьшее, а - наибольшее значения функции на отрезке , то найдутся на этом отрезке такие точки и , что и .
Геометрический смысл первого из этих утверждений совершенно ясен: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси на другую, то она пересекает эту ось (рис. 5). Разрывная функция этим свойством не обладает, что подтверждается графиком функции на рис. 2, а также свойствами 2 и 3. На рис. 2 функция не принимает значения , хотя оно заключено между и . На рис. 6 приведен пример разрывной функции (дробная часть числа ), которая не достигает своего наибольшего значения..
Сложение, вычитание, умножение непрерывных на одном и том же отрезке функций вновь приводят к непрерывным функциям. При делении двух непрерывных функций получится непрерывная функция, если знаменатель всюду отличен от нуля.
К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время непрерывны, и зависимость, например, пути от времени , выраженная законом , дает пример непрерывной функции .
С помощью непрерывных функций описывают состояния и процессы в твердых телах, жидкостях и газах. Изучающие их науки - теория упругости, гидродинамика и аэродинамика - объединяются одним названием - «механика сплошной среды».